تفاوت ضرب داخلی و خارجی چیست؟
در این نوشتار میخواهیم بدانیم که تفاوت ضرب داخلی و خارجی در چه چیزهایی است. پس با ما همراه باشید تا ضمن مقایسه فرق ضرب خارجی با داخلی را بدانیم
ضرب داخلی و ضرب خارجی دو نوع عملیات ریاضی هستند که در فضاهای برداری و هندسه مورد استفاده قرار میگیرند. هر کدام از این عملیات ویژگیها و کاربردهای خاص خود را دارند. در ادامه به تفصیل به تفاوتهای این دو نوع ضرب میپردازیم:
۱. ضرب داخلی (Dot Product)
تعریف:
ضرب داخلی، که به آن ضرب نقطهای نیز گفته میشود، یک عملگر است که دو بردار را گرفته و یک عدد حقیقی (اسکالر) تولید میکند.
فرمول:
اگر دو بردار \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) و \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\) داشته باشیم، ضرب داخلی آنها به صورت زیر محاسبه میشود:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n
\]
ویژگیها:
– نتیجه: نتیجهی ضرب داخلی یک عدد حقیقی است.
– معنا: مقدار حاصل از ضرب داخلی نشاندهندهی میزان همراستایی یا همجهتی دو بردار است. اگر حاصل برابر صفر باشد، نشاندهندهی عمود بودن دو بردار است.
– قانون مثلث: برای هر دو بردار، قانون مثلث برقرار است.
۲. ضرب خارجی (Cross Product)
تعریف:
ضرب خارجی، که به آن ضرب متقاطع نیز گفته میشود، یک عملگر است که دو بردار سهبعدی را گرفته و یک بردار جدید تولید میکند.
فرمول:
اگر دو بردار سهبعدی \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) و \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\) داشته باشیم، ضرب خارجی آنها به صورت زیر محاسبه میشود:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
=
((a_2 b_3 – a_3 b_2), (a_3 b_1 – a_1 b_3), (a_1 b_2 – a_2 b_1))
\]
ویژگیها:
– نتیجه: نتیجهی ضرب خارجی یک بردار جدید است.
– معنا: جهت این بردار با استفاده از قاعده دست راست تعیین میشود و طول آن برابر با مساحت متوازیالاضلاع تشکیل شده توسط دو بردار اولیه است.
– عمود بودن: نتیجهی ضرب خارجی همیشه عمود بر هر دو برداری است که در محاسبه استفاده شدهاند.
۳. تفاوتهای کلیدی
| ویژگی | ضرب داخلی | ضرب خارجی |
|———————|——————————-|——————————-|
| نوع خروجی | عدد حقیقی (اسکالر) | بردار |
| ابعاد | برای هر بعد \(n\) | فقط برای بعد ۳ |
| معنا | میزان همراستایی | جهت عمود بر سطح |
| کاربرد | محاسبه زاویه بین دو بردار | محاسبه مساحت و تعیین جهت |
امیدوارم از این مقاله در خصوص تفاوت ضرب داخلی و خارجی نهایت استفاده را ببرید
