تفاوت تابع زوج و فرد چیست؟ مقایسه و فرق آنها

تفاوت تابع زوج و فرد چیست؟

تابع زوج و فرد دو نوع تابع ریاضی هستند که بر اساس ویژگی‌های خاصی تعریف می‌شوند. در ادامه به توضیح مفصل این دو نوع تابع می‌پردازیم:

تابع زوج

تابع \( f(x) \) را تابع زوج می‌نامیم اگر برای هر \( x \) در دامنه‌ی تابع، رابطه زیر برقرار باشد:

\[
f(-x) = f(x)
\]

این بدان معناست که مقدار تابع برای \( x \) و \( -x \) برابر است. به عبارت دیگر، گراف تابع زوج نسبت به محور عمودی (محور \( y \)) متقارن است.

مثال‌ها:
1. تابع خطی: \( f(x) = x^2 \)
– بررسی: \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \)

2. تابع کسری: \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)
– بررسی: \( f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x) \)

تابع فرد

تابع \( f(x) \) را تابع فرد می‌نامیم اگر برای هر \( x \) در دامنه‌ی تابع، رابطه زیر برقرار باشد:

\[
f(-x) = -f(x)
\]

این بدان معناست که مقدار تابع برای \( x \) و \( -x \)، علامت مخالف یکدیگر دارند. به عبارت دیگر، گراف تابع فرد نسبت به مبدأ مختصات (نقطه‌ی (0,0)) متقارن است.

مثال‌ها:
1. تابع خطی: \( f(x) = x^3 \)
– بررسی: \( f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \)

2. تابع کسری: \( f(x) = x \)
– بررسی: \( f(-x) = -x = -f(x) \)

ویژگی‌های کلی

– گراف توابع زوج:
– متقارن نسبت به محور عمودی.
– نقاط مثبت و منفی در محور افقی (محور x)، مقادیر یکسانی دارند.

– گراف توابع فرد:
– متقارن نسبت به مبدأ مختصات.
– نقاط مثبت و منفی در محور افقی (محور x)، مقادیر مخالف یکدیگر دارند.

نتیجه‌گیری

در نهایت، تفاوت اصلی بین توابع زوج و فرد در نحوه‌ی رفتار آن‌ها نسبت به تغییر علامت ورودی‌هاست. توابع زوج مقادیر یکسانی برای ورودی‌های مثبت و منفی دارند، در حالی که توابع فرد مقادیر مخالفی برای ورودی‌های مثبت و منفی ارائه می‌دهند. این ویژگی‌ها باعث می‌شود که هر کدام از این توابع کاربردهای خاص خود را در ریاضیات و علوم مختلف داشته باشند.